Question

【題目】已知函數(shù) (， 為自然對數(shù)的底數(shù)).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）的最大值為1.

【解析】分析：（1）先求導，再對a分類討論，求函數(shù)的單調性得到函數(shù)的極值.(2)先把問題轉化為關于的方程 在上沒有實數(shù)解，再轉化為方程化為沒有實數(shù)解，得k的最大值.

詳解：（1） ，

①當時， ， 為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值.

②當時，令，得， .

， ； ， .

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取得極小值，且小值為，無極大值.

綜上，當時，函數(shù)無極小值；

當， 在處取得極小值，無極大值.

（2）當時， .

直線與曲線沒有公共點，

等價于關于的方程在上沒有實數(shù)解，

即關于的方程 在上沒有實數(shù)解.

①當時，方程可化為，在上沒有實數(shù)解.

②當時，方程化為.

令，則有

令，得，

當變化時， 的變化情況如下表：

		-1
	-	0	+
	↘		↗

當時， ，同時當趨于時， 趨于，

從而的取值范圍為.

所以當時，方程無實數(shù)解，

解得的取值范圍是.

綜上，得的最大值為1.