已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1．證明：
（Ⅰ）a2+b2+c2≥
1
3
；
（Ⅱ）
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥1．
考點：不等式的證明
專題：不等式
分析：（Ⅰ）由題意得，1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2），結論得證．
（Ⅱ）由題意得，
a2
b
+b≥2a，
b2
c
+c≥2b，
c2
a
+a≥2c，得到
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
+a+b+c≥2（a+b+c），結論得證．
解答： 證明（Ⅰ）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2≥
1
3
，當且僅當a=b=c時，等號成立．    
（Ⅱ）∵
a2
b
+b≥2a，
b2
c
+c≥2b，
c2
a
+a≥2c，
∴
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
+a+b+c≥2（a+b+c），
∴
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c=1，
∴
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥1
點評：本題考查用比較法證明不等式，基本不等式的應用，將式子變形是證明的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|ax+5≤3}，B={x|x≥1}．
（1）若A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)a使得A∪B=A∩B？若存在，求出a的值，若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個對應，其中能構成映射的是（　�。�
A、（1）（2）
B、（1）（4）
C、（1）（3）（4）
D、（3）（4）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=a-x2+4x（a＞1）的單調遞增區(qū)間是（　�。�
A、（2，+∞）
B、（-2，+∞）
C、（-∞，-2）
D、（-∞，2）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

2014年國慶長假期間，各旅游景區(qū)人數(shù)發(fā)生“井噴”現(xiàn)象，給旅游區(qū)的管理提出了嚴峻的考驗，國慶后，某旅游區(qū)管理部門對該區(qū)景點進一步改造升級，提高旅游增加值，經過市場調查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y=
51
50
x-ax2-ln
x
10
，x∈（1，t]，當x=10時，y=9.2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求旅游增加值y取得最大值時對應的x值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4，設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，點A的坐標為（-a，0）．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若|AB|=
4
2
5
，求直線l的傾斜角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某商品進貨單價為10元，按20元一個銷售能賣20個；若銷售單位每漲價1元，銷售量就減少1個．要獲得最大利潤時，此商品的售價應該為每個
 
元．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（
2
，0），右頂點為（1，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k＞0）與雙曲線C有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞3（其中O為原點），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出以下三組數(shù)的大小比較結果：（1）20.3＞0.32＞log20.3，（2）30.4＞40.3，（3）（-
2
3
） 
1
3
＜-（
1
3
） 
2
3
，
其中結果正確的組數(shù)為（　�。�
A、3B、2C、1D、0

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