Question

已知函數f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-x+（a∈R）．
（Ⅰ） 當a=1時，求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ） 當a≤0時，若任意給定的x₀∈[0，2]，在[0.2]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使 得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）求導函數可得f′（x）=6x（x-1）------------------------（2分）
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
故函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞）；單調遞減區(qū)間是（0，1）．-----------（6分）
（II） ①當a=0時，，顯然不可能滿足題意；------------（7分）
②當a＜0時，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	+	0	-
f（x）	1		極大值1-a		1+4a

------------------------------（9分）
又因為當a＜0時，g（x）=-x+在[0，2]上是增函數，
∴對任意，-------------------------------（11分）
由題意可得，解得a＜-1．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-1）．---------（13分）
分析：（I）求導函數，利用導數的正負，可求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）利用f（x）的最大值大于g（x）的最大值，即可求得a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查存在性問題，確定函數的最大值是關鍵．