Question

某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土最省工．

 

 

Answer 1

運(yùn)土?xí)r將雙曲線(xiàn)左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工．

【解析】

試題分析：首先抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，半圓中的點(diǎn)可分為三類(lèi)：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn)．

顯然，第三類(lèi)點(diǎn)是第一、二類(lèi)的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線(xiàn)上的任意一點(diǎn)．則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|．于是|MA|﹣|MB|=|PB|﹣|PA|=150﹣100=50．從而發(fā)現(xiàn)第三類(lèi)點(diǎn)M滿(mǎn)足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線(xiàn)定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支上，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線(xiàn)的方程．

【解析】
以AB所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)M（x，y）是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn)，則

|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，

∴|MA|﹣|MB|=|PB|﹣|PA|=50．

在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2=|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|cos60°=17500，且50＜|AB|．

由雙曲線(xiàn)定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)右支上，設(shè)此雙曲線(xiàn)方程為﹣=1（a＞0，b＞0）．

∵2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，

解之得a2=625，b2=3750．

∴M點(diǎn)軌跡是﹣=1（x≥25）在半圓內(nèi)的一段雙曲線(xiàn)�。�

于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線(xiàn)左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工．