Question

如圖，設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于點F₁，焦點為F₂；以F₁，F₂為焦點，離心率為

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的交點為P，延長PF₂交拋物線于點Q，M是拋物線C₁上一動點，且M在P與Q之間運動．
（1）當m=3時，求橢圓C₂的標準方程；
（2）若|PF₂|=5且P點橫坐標為

2

3

m，求面積△MPQ的最大值．

Answer 1

分析：（1）：當m=3時，y²=12x，可設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），結合已知可求c及e=

c

a

=

1

2

，可求a，再由b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓方程
（2）由xp=

2m

3

及|PF₂|=xp+m=

5m

3

可求m，此時拋物線方程為y²=12x，F₂（3，0），P（2，2

6

），從而可求直線PQ的方程，聯立

y=-2 6 (x-3) y2=12x

，可求Q（

9

2

，-3

6

），及PQ，設點M（

t2

12

，t）到直線PQ的距離為d，由題意可知t∈(-2

6

，2

6

)，由點到直線的距離公式可得d=

| 6 6 t2+t-6 6 |

24+1

=

6

30

|(t+

6

2

)2+

75

2

|，結合二次函數的性質可求d的最大，代入可求MPQ面積的最大值

解答：解：（1）：當m=3時，y²=12x，F₁（-3，0），F₂（3，0）…（1分）
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=3，又e=

c

a

=

1

2

，所以a=6，b²=27
所以橢圓C₂方程為

x2

36

+

y2

27

=1（4分）
（2）∵xp=

2m

3

∴|PF₂|=xp+m=

5m

3

又|PF₂|=5∴m=3
此時拋物線方程為y²=12x，F₂（3，0），x_p=2…（6分）
又P在x軸上方，P（2，2

6

）
∴直線PQ的斜率為：KPF2=-2

6

∴直線PQ的方程為：y=-2

6

（x-3）…（8分）
聯立 

y=-2 6 (x-3) y2=12x

，得2x²-13x+18=0
∵直線PQ的斜率為kPQ=-2

6

＜0，由圖知x＞2
所以x=

9

2

代入拋物線方程得y=-3

6

，即Q（

9

2

，-3

6

）
PQ=

(2- 9 2 )2+(2 6 +3 6 )2

=

25

2

∵2x²-13x+18=0
∴x1+x2=

13

2

，x1x2=9
PQ=

1+(2 6 )2

|x1-x2|=5

(x1+x2)2-4x1x2

=5

( 13 2 )2-4×9

=

25

2

…（11分）
設點M（

t2

12

，t）到直線PQ的距離為d，
∵M在P與Q之間運動，∴t∈(-2

6

，2

6

)
d=

| 6 6 t2+t-6 6 |

24+1

=

6

30

|(t+

6

2

)2+

75

2

|
當t=-

6

2

，d_max=

6

30

•

75

2

=

5 6

4

   …（14分）
即MPQ面積的最大值為

1

2

×

25

2

×

5 6

4

=

125 6

16

      …（15分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．本題主要考查運算，整個題目的解答過程看起來非常繁瑣，注意運算．