Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實(shí)數(shù)解、、（），求證：.

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)時， 在單調(diào)遞增,②當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）證明見解析

【解析】

（1）先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，由此證明出.

（1），

①當(dāng)時，恒成立，則在單調(diào)遞增

②當(dāng)時，令得，

解得，

又，∴

∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

（2）依題意得，，則

由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴若方程有三個實(shí)數(shù)解，

則

法一：雙偏移法

設(shè)，則

∴在上單調(diào)遞增，∴，

∴，即

∵，∴，其中，

∵在上單調(diào)遞減，∴，即

設(shè)，

∴在上單調(diào)遞增，∴，

∴，即

∵，∴，其中，

∵在上單調(diào)遞增，∴，即

∴.

法二：直接證明法

∵，，在上單調(diào)遞增，

∴要證，即證

設(shè)，則

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴，

∴，即

（注意：若沒有證明，扣3分）

關(guān)于的證明：

（1）且時，（需要證明），其中

∴

∴

∴

（2）∵，∴

∴，即

∵，，∴，則

∴