如圖,正方體ABDC-A1B1C1D1,點M、N分別在  AD1、AC1
(1)若AM=MD1,AN=NC1,試判斷直線MN與A1C1的位置關系;并求MN與A1C1所成的角;
(2)若AM=2MD1,AN=2NC1,試判斷直線MN與平面A1B1AB的關系,并證明.

解:(1)直線MN與A1C1成異面直線.
取A1D1、D1C1的中點E、F,連接EF
∴MN∥EF,
又∵A1B1∥D1C1
∴∠D1FE就是所求.
由題意得:△D1FE為等腰直角三角形,∠D1FE=45°
∴MN與A1B1所成的角為45°.(5分)
(2)直線MN與平面ABCD平行.
證明:分別過點M,N作底面的垂線交AD,DC于點P,Q,連接PQ.
∴MP||DD1,NQ||CC1,MP||NQ
∵AM=2MD1,ND=2NC1
∴MP=DD1,NQ=CC1
∴MP=NQ,即四邊形PMNQ為平行四邊形,
∴MN||PQ
又∵PQ在平面ABCD內,
∴直線MN與平面ABCD平行.(10分)
分析:(1)取A1D1、D1C1的中點E、F,連接EF,根據(jù)中位線可知MN∥EF,而A1B1∥D1C1則∠D1FE就是所求,在△D1FE求出此角即可;
(2)直線MN與平面ABCD平行,欲證直線MN與平面ABCD平行,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面ABCD內一直線平行,分別過點M,N作底面的垂線交AD,DC于點P,Q,連接PQ,可證四邊形PMNQ為平行四邊形,從而MN||PQ,而PQ在平面ABCD內,滿足定理所需條件.
點評:本題考查直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角的求法,考查學生空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
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