Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；
（2）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值求出a的值，再依據(jù)不等式恒成立時(shí)所取的條件，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），…．（2分）
當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時(shí)，由f′（x）=0得x=4．
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞4時(shí)，f′（x）＞0…（4分）
∴f（x）在（0，4）上遞減，在（4，+∞）遞增   …（6分）
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴a=1  …（7分）
由已知f（x）≥bx-2，則$\frac{x+1-lnx}{x}$≥b
令g（x）=$\frac{x+1-lnx}{x}$=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{lnx-2}{x}$
易得g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，
所以g（x）_min=g（e²）=1-e^-2，即b≤1-e^-2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．