Question

12．設(shè)f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，令h（x）=f（x）•g（x），且對任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，g（1）=0，則不等式x•h（x）＜0的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和奇函數(shù)的定義判斷出h（x）的奇偶性，由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出h（x）的單調(diào)性，結(jié)合條件畫出函數(shù)圖象的示意圖，由圖象求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴h（x）=f（x）g（x）是R上的奇函數(shù)，
∵任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
則h（x）在（-∞，0）上也為減函數(shù)，
又g（1）=0，∴h（1）=f（1）g（1）=0，且h（-1）=0，
畫出函數(shù)h（x）的圖象示意圖：
∴不等式x•h（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．