Question

己知拋物線的參數方程為

x=2pt2 y=2pt

（t為參數），其中p＞0，焦點為F，準線為l，過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E，若|EF|=|MF|，點M的橫坐標是3，則p=

2

．

Answer 1

分析：將拋物線化成普通方程得y²=2px，得到焦點為F（

p

2

，0），準線方程為x=-

p

2

．根據|EF|=|MF|利用拋物線的定義得到△MEF為等邊三角形．設準線與x軸的交點為G，Rt△EFG中算出∠FGE=30°，從而得出|EF|=2|FG|=2p，根據|ME|=3+

p

2

=|EF|得到關于p的等式，解之可得p的值．

解答：解：∵拋物線的參數方程為

x=2pt2 y=2pt

（t為參數），其中p＞0，
∴消去參數可得拋物線的普通方程為x=2p（

y

2p

）²，化簡可得y²=2px，
表示頂點在原點、開口向右、對稱軸是x軸的拋物線，
可得拋物線的焦點F為（

p

2

，0），準線方程為x=-

p

2

．
∵|EF|=|MF|，
∴由拋物線的定義可得|ME|=|MF|，得到△MEF為等邊三角形．
設拋物線的準線與x軸的交點為G（-

p

2

，0），可得|FG|=p，
Rt△EFG中，∠FGE=90°-60°=30°，
∴|EF|=2|FG|=2p，
由此可得|ME|=3+

p

2

=2p，解之得p=2．
故答案為：2

點評：本題給出拋物線的參數方程，在滿足指定條件下求焦參數p的值．著重考查了拋物線的定義與標準方程、拋物線的簡單性質及其應用和參數方程化為普通方程的方法，屬于中檔題．