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6.函數(shù)f(x)=ax2+1bx+c(a、b、c∈Z)是奇函數(shù),且f(1)=2,f(2)<3
(1)求a、b、c的值;
(2)當x<0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (1)由條件利用函數(shù)的奇偶性求得a、b、c的值.
(2)當x<0時,根據(jù)函數(shù)f(x)=x+1x 的圖象,利用導數(shù)求得它的單調(diào)區(qū)間.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax2+1bx+c(a、b、c∈Z)是奇函數(shù),
∴f(-x)=ax2+1bx+c=-f(x)=-ax2+1bx+c,∴c=0.
又∵f(1)=2,∴a+1b+c=\frac{a+1}=2,∴a+1=2b.
根據(jù)f(2)=4a+12b<3,∴a=b=1.
綜上可得,a=b=1,c=0.
(2)當x<0時,函數(shù)f(x)=x2+1x=x+1x,∴f′(x)=1-1x2,令f′(x)=0,求得x=-1,
在(-∞,-1)上,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單掉遞增,在(-1,0)上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單掉遞減,
故單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1),單調(diào)減區(qū)間為(-1,0).

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.

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