Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+b，且f（4）=-3．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞]上遞減，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意求出二次函數(shù)f（x）解析式，再求出f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域；
（2）根據(jù)f（x）圖象的對(duì)稱軸，結(jié)合f（x）在區(qū)間[2，+∞）的單調(diào)性，列出不等式，求出b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-x²+ax+b，且函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸是x=1，
∴-

a

2×(-1)

=1，解得a=2；
∴f（4）=-4²+2×4+b=-3，
解得b=5；
∴函數(shù)f（x）=-x²+2x+5=-（x-1）²+6，
∴f（1）=6，
f（-3）=-10，
f（3）=2；
∴f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域是[-10，6]；
（2）∵函數(shù)f（x）=-x²+ax+b，且f（4）=-4²+4a+b=-3，
∴a=

13-b

4

；
又∵f（x）的圖象的對(duì)稱軸為x=

a

2

=

13-b

8

，
且f（x）在區(qū)間[2，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，
∴

13-b

8

≤2，
解得b≥-3；
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．