Question

20．如圖，已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，現(xiàn)有以下結(jié)論：①B，D兩點(diǎn)間的距離為$\sqrt{3}$；②AD是該圓的一條直徑；③CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；④四邊形ABCD的面積S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，由余弦定理求出BD=$\sqrt{3}$；在②中，由AB⊥BD，知AD是該圓的一條直徑；在③中，推導(dǎo)出CD=1；在④中，由四邊形是梯形，高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出四邊形ABCD的面積S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：在①中，∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，
∵AD=2，AB=1，∴BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，故①正確；
在②中，∵AB⊥BD，∴AD是該圓的一條直徑，故②正確；
在③中，3=1+CD2-2CD•（-$\frac{1}{2}$），∴CD2+CD-2=0，∴CD=1，故③不正確；
在④中，由③可得四邊形是梯形，高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，四邊形ABCD的面積S=$\frac{1+2}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、余弦定理、梯形性質(zhì)的合理運(yùn)用．