Question

19．如圖，在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中，CC₁丄底面ABC，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，CC₁=4，M是棱CC₁上一點(diǎn)
（1）求證：BC⊥AM
（2）若二面角A-MB₁-C的大小為$\frac{π}{4}$，求CM的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CC₁⊥BC，AC⊥BC，從而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能證明BC⊥AM．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出CM．

解答 證明：（1）∵在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中，CC₁丄底面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
∵AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∵CC₁∩AC=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AM?平面ACC₁A₁，∴BC⊥AM．
解：（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CM=t，則A（2，0，0），M（0，0，t），B₁（0，2，4），C（0，0，0），
$\overrightarrow{MA}$=（2，0，-t），$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（0，2，4-t），$\overrightarrow{MC}$=（0，0，-t），
設(shè)平面MAB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MA}=2x-tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{M{B}_{1}}=2y+（4-t）z=0}\end{array}\right.$，取x=t，得$\overrightarrow{n}$=（t，t-4，2），
平面MB₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角A-MB₁-C的大小為$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+（t-4）^{2}+4}}$，
解得t=$\frac{5}{2}$．
∴CM=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．