Question

5．如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求證：AM⊥平面EBC；
（2）求直線AB與平面EBC所成的角的大小；
（3）求二面角A-EB-C的大�。�
（4）你認為求二面角常用的方法有哪些？請按應用的重要程度寫出3種，并就其中一種方法談談它的應用條件．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ACDE是正方形，可得EA⊥AC，AM⊥EC，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：EA⊥平面ABC，于是可以以點A原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz．不妨設AC=BC=2，通過$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{CB}$=0，可得AM⊥CB，即可證明AM⊥平面EBC．
（2）由AM⊥平面EBC，可得$\overrightarrow{AM}$為平面EBC的一個法向量，利用向量夾角公式可得：$\overrightarrow{AM}$與$\overrightarrow{AB}$的夾角，即可得出．
（3）分別求出兩個半平面的法向量，利用向量夾角公式求出夾角．
（4）求二面角常用的方法有以下3種：①利用法向量的夾角公式；②利用定義；③利用三垂線定理．

解答 （1）證明：∵四邊形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，
∴EA⊥平面ABC，∴可以以點A原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz．
設AC=BC=2，則A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的對角線的交點，∴M（0，1，1）．
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1）．$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{CB}$=0，
∴AM⊥CB，又AM⊥EC，∴AM⊥平面EBC．
（2）解：∵AM⊥平面EBC，∴$\overrightarrow{AM}$為平面EBC的一個法向量，
∵$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，2，0），
∴cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}＞$=60^°．
∴直線AB與平面EDC所成的角為30^°．
（3）解：設平面EAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AE}$，且$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{AE}$=0，且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AB}$=0.$\overrightarrow{AE}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，2，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）．
又∵$\overrightarrow{AM}$為平面EBC的一個法向量，且$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），
∴cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AM}|}$=-$\frac{1}{2}$，設二面角A-EB-C的平面角為θ，則cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=60^°．
∴二面角A-EB-C等于60^°．
（4）解：求二面角常用的方法有以下3種：①利用法向量的夾角公式；②利用定義；③利用三垂線定理．
對于①：通過建立空間直角坐標系，分別求出兩個半平面的法向量，利用向量夾角公式即可得出．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、正方形與等腰三角形的性質(zhì)、向量的夾角公式、法向量的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．