Question

函數f(x)=

x2+a

x+1

(a∈R)．
（1）若f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為

1

2

，求實數a的值；
（2）若f（x）在x=1取得極值，求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，把x=1代入導函數得到切線的斜率k，讓k=

1

2

即可得到a的值；
（2）由f（x）在x=1取得極值得到f′（1）=0，求出a的值，根據函數的定義域為x≠-1，分區(qū)間利用x的范圍討論導函數的正負，得到函數的單調區(qū)間．

解答：解：（1）f′(x)=

2x(x+1)-x2-a

(x+1)2

=

x2+2x-a

(x+1)2

，
若f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為

1

2

，則f′(1)=

1

2

．
所以，f“(1)=

3-a

4

=

1

2

，得a=1．
（2）因為f（x）在x=1處取得極值，
所以f'（1）=0，即1+2-a=0，a=3，
∴f′(x)=

x2+2x-3

(x+1)2

．
因為f（x）的定義域為{x|x≠-1}，所以有：

所以，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-3），（1+∞），單調遞減區(qū)間是（-3，-1），（-1，1）．

點評：考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，會利用導數研究函數的單調性，會利用導數研究函數的極值．