Question

在周長為16的三角形ABC中，AB=6，A，B所對的邊分別為a，b，則abcosC的取值范圍是　　．

Answer 1

考點(diǎn)：

余弦定理；基本不等式．

專題：

三角函數(shù)的求值．

分析：

由題意可得三角形ABC中，b=10﹣a，再由任意兩邊之和大于第三邊可得 2＜a＜8，由余弦定理可得2ab•cosC=a²+b²﹣36=（a﹣5）²+7，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得abcosC的取值范圍．

解答：

解：由題意可得三角形ABC中，a+b=16﹣6=10，∴b=10﹣a．再由任意兩邊之和大于第三邊可得 2＜a＜8．

由余弦定理可得 36=a²+b²﹣2ab•cosC，

∴2ab•cosC=a²+b²﹣36=a²﹣10a+32=（a﹣5）²+7，

∴7≤a＜9+7=16，

故abcosC的取值范圍是[7，16），

故答案為[7，16）．

點(diǎn)評：

本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．