Question

【題目】已知函數.

（1）若在處的切線與直線垂直，求的極值；

（2）設與直線交于點，拋物線與直線交于點，若對任意，恒有，試分析的單調性.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無極小值（2）見解析

【解析】

（1）先求得函數的導函數，根據在處的切線與直線垂直，可求得的值，代入函數解析式后求得極值點，并分析極值點左右兩側的單調性，即可確定極值.

（2）由題意可知對任意的恒成立，代入的解析式，分離參數，并構造函數，并利用判斷函數的單調性和最大值.對分和兩種情況討論，即可確定的單調區(qū)間.

（1）由可得，

由條件可得，即.

則，，

令可得.

當時，，所以在上單調遞增，

當時，，所以在上單調遞減，

的極大值為，無極小值

（2）由條件可知對任意的恒成立.

即，即對任意的恒成立.

令，則，

當時，，故，

在上單調遞減，故，

.

①當時，，故在上單調遞增；

②當時，由可得.

當時，，

當時，.

在上單調遞增，在上單調遞減.