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設函數f(x)=
x+a
x+b
(a＞b＞0)．
（I）證明f（x）在（-b，+∞）內是減函數；
（II）若不等式m＞
x+3
x+2
在[4，6]上恒成立，求實數m的取值范圍．
分析：（I）設x1＞x2＞-b，然后判定f（x1）-f（x2）的符號，根據函數單調性的定義進行判定即可；
（II）根據（I）可知函數
x+3
x+2
在（-2，+∞）上單調遞減，從而得到在[4，6]上的單調性，從而可求出最值，即可求出所求．
解答：（I）證明：f（x）=
x+a
x+b
=1+
a-b
x+b

設x1＞x2＞-b，
則f（x1）-f（x2）=1+
a-b
x1+b
-（1-
a-b
x2+b
）=
(a-b)(x2-x1)
(x1+b)(x2+b)
；
∵a＞b＞0，x1＞x2＞-b
∴a-b＞0，x2-x1＜0，x1+b＞0，x2+b＞0
則f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在（-b，+∞）內是減函數；
（II）∵不等式m＞
x+3
x+2
在[4，6]上恒成立
∴m＞（
x+3
x+2
）max
而由（1）可知
x+3
x+2
在（-2，+∞）上單調遞減則在[4，6]上減
∴m＞（
x+3
x+2
）max=
4+3
4+2
=
7
6
．
點評：本題主要考查了分式函數的單調性，以及恒成立問題，同時考查了等價轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是實數，e為自然對數的底數）
（1）若f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數．現給出下列三個命題：
①函數f(x)=(
12
)x為R上的l高調函數；
②函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是
②③
②③
（填序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為（　�。�

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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