Question

已知橢圓C₁：，雙曲線C₂：．若直線與橢圓C₁、雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩交點A、B滿足（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由l與橢圓C₁恒有兩個不同的交點，可得解得  ①，由l與C₂ 有兩個不同的交點可得 k²≠，且k²＜1  ②，再由 可得 或  ③，結合①②③求得k²的取值范圍，即可得到k的取值范圍．
解答：解：將代入得，，
由判別式 ，解得  ①．
將代入得，（1-3k²）x²-6kx-9=0，
由l與C₂ 有兩個不同的交點可得 ，解得 k²≠，且k²＜1  ②，
根據(jù) =x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂++2=＜6，
解得，或  ③．  由①②③得，或．
故k的取值范圍為：．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的應用，兩個向量的數(shù)量積公式的應用，求得，或，是解題的難點和關鍵．