Question

已知橢圓E的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，離心率，A，B分別為橢圓的上頂點和右頂點，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知直線l：y=x+m與橢圓E相交于M，N兩點，且OM⊥ON（其中O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

解：（1）設橢圓的方程為（a＞b＞0），半焦距為c，
由得，，得a²=2b²…（2分）
由得，a²+b²=6，…（4分）
故a²=4，b²=2
所以，橢圓E的方程為…（6分）
（2）由，消去y，并整理得：3x²+2mx+m²-4=0，…（7分）
由判別式△=4m²-12（m²-4）＞0，解得…（9分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，…（10分）
由OM⊥ON，得…（11分）
又=，
故…（14分）
分析：（1）利用待定系數法，根據離心率，且，建立方程，求得幾何量，即可求橢圓E的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．