Question

已知P為曲線C：y=

1

x

上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的切線，并與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為

2

．

Answer 1

分析：設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C：y=

1

x

上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的切線l，利用導(dǎo)數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而可求△OAB的面積．

解答：解：設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C：y=

1

x

上任一點(diǎn)，則y₀=

1

x0

．
∵y′=-

1

x2

，設(shè)過曲線C：y=

1

x

上一點(diǎn)P的切線l的斜率為k，
則k=y′|x=x0=-

1

x2

|x=x0=-

1

x02

，
∴切線l的方程為：y-y₀=-

1

x02

（x-x₀），
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=

1

x0

+y₀=

2

x0

，即B（0，

2

x0

）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=y₀•x02+x₀=

1

x0

•x02+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

×|2x₀|•|

2

x0

|=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過曲線C：y=

1

x

上一點(diǎn)P的切線l的斜率，考查直線的方程及截距，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．