Question

已知奇函數f(x)=a+

1

4x+1

．
（1）求a的值；
（2）討論f（x）的單調性，并加以證明；
（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用函數f（x）是奇函數，得到f（0）=0，即可求a的值；
（2）利用函數單調性的定義證明f（x）的單調性；
（3）利用函數的奇偶性和單調性將不等式進行轉化，求不等式的解集．

解答：解：（1）∵函數f（x）是奇函數，且函數的定義域為R，
則f（0）=0，
即f（0）=a+

1

2

=0，解得a=-

1

2

．
∴f（x）=

1

4x+1

-

1

2

．
（2）f（x）=

1

4x+1

-

1

2

在R上單調遞減．
證明如下：任取x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=(

1

4x1+1

-

1

2

)-(

1

4x2+1

-

1

2

)=

1

4x1+1

-

1

4x2+1

=

4x2-4x1

(4x1+1)(4x2+1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，
（3）∵f（2x-1）+f（2-3x）＞0，
∴f（2x-1）＞-f（2-3x），
又∵y=f（x）是奇函數，
∴f（2x-1）＞f（3x-2），
∴2x-1＜3x-2，
∴x＞1，
∴不等式的解集為（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，要求熟練掌握函數奇偶性的性質和單調性的定義．