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已知奇函數f(x)=a+
14x+1

(1)求a的值;
(2)討論f(x)的單調性,并加以證明;
(3)解不等式f(2x-1)+f(2-3x)>0.
分析:(1)利用函數f(x)是奇函數,得到f(0)=0,即可求a的值;
(2)利用函數單調性的定義證明f(x)的單調性;
(3)利用函數的奇偶性和單調性將不等式進行轉化,求不等式的解集.
解答:解:(1)∵函數f(x)是奇函數,且函數的定義域為R,
則f(0)=0,
即f(0)=a+
1
2
=0
,解得a=-
1
2

∴f(x)=
1
4x+1
-
1
2

(2)f(x)=
1
4x+1
-
1
2
在R上單調遞減.
證明如下:任取x1<x2
f(x1)-f(x2)=(
1
4x1+1
-
1
2
)-(
1
4x2+1
-
1
2
)
=
1
4x1+1
-
1
4x2+1
=
4x2-4x1
(4x1+1)(4x2+1)
>0

∴f(x1)>f(x2),
∴y=f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減,
(3)∵f(2x-1)+f(2-3x)>0,
∴f(2x-1)>-f(2-3x),
又∵y=f(x)是奇函數,
∴f(2x-1)>f(3x-2),
∴2x-1<3x-2,
∴x>1,
∴不等式的解集為(1,+∞).
點評:本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用,要求熟練掌握函數奇偶性的性質和單調性的定義.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知奇函數f(x)=
-x2+2x(x>0)
0,(x=0)
x2+mx(x<0)

(1)求實數m的值,并在給出的直角坐標系中畫出y=f(x)的圖象.
(2)若函數f(x)在區(qū)間[-1,|a|-2]上單調遞增,試確定a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知奇函數f(x)=
ax+b
x2+1
在(-1,1)上是增函數,且f(
1
2
)=
2
5

①確定函數f(x)的解析式.
②解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知奇函數f(x)=
x2-2x+2  (x<0)
ax2+bx+c (x>0)
(a,b,c∈R)
,則a+b+c的值是( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知奇函數f(x)=
-x2+2x   (x>0)
0
                (x=0)
x2+mx
     (x<0)
,則m=( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•杭州二模)已知奇函數f(x)=
qx+r
px2+1
有最大值
1
2
,且f(1)>
2
5
,其中實數x>0,p、q是正整數..
(1)求f(x)的解析式;
(2)令an=
1
f(n)
,證明an+1>an(n是正整數).

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