Question

已知拋物線y=ax²（a≠0）的準線方程為y=-1．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)F是拋物線的焦點，直線l：y=kx+b（k≠0）與拋物線交于A，B兩點，記直線AF，BF的斜率之和為m．求常數(shù)m，使得對于任意的實數(shù)k（k≠0），直線l恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將y=ax²，化為標準方程為，利用拋物線y=ax²（a≠0）的準線方程，即可求得拋物線C的方程；（Ⅱ）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得x²-4kx-4b=0．利用韋達定理及直線AF，BF的斜率之和為m，可得直線，進而令xk²-（mx+y+1）k+my=0對任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直線l過定點．
解答：解：（Ⅰ）將y=ax²，化為標準方程為．
∴拋物線C的準線方程為：．  
∵拋物線y=ax²（a≠0）的準線方程為y=-1                      …（3分）
∴，解得．
∴拋物線C的方程是x²=4y．                                    …（6分）
（Ⅱ）F（0，1），設(shè)A，B，
由，得x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，△=16k²+16b＞0．                  …（8分）

=．                               …（10分）
∴．∴直線．
令xk²-（mx+y+1）k+my=0對任意的k（k≠0）恒成立．             …（12分）
則，解得．
所以，m=0，直線l過定點（0，-1）．                           …（15分）
點評：本題考查拋物線的標準方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，解題的關(guān)鍵是求出直線方程，利用方程對任意的k（k≠0）恒成立，建立方程組．