Question

如圖，從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB平行于OM，
（1）求橢圓的離心率；
（2）設Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)₂是右焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍；
（3）設Q是橢圓上一點，當QF₂⊥AB時，延長QF₂與橢圓交于另一點P，若△F₁PQ的面積為4

3

，求此時的橢圓方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）通過求解F（-c，0），M(-c，

b2

a

)，利用AB∥OM，推出關系式，即可求解離心率．
（2）在△F₁QF₂中，利用余弦定理求出cos∠F₁QF₂=

2b2

a2

-1，推出cos∠F₁QF₂≥0，得到∠F₁QF₂的取值范圍．
（3）由（1）知，b=c，設橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，得到直線PQ的方程為y=

2

(x-c)，聯(lián)立方程組

y= 2 (x-c) x2 2c2 + y2 c2 =1

，設Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），通過韋達定理得，利用寫出公式求出QP，由點F₁到QP的距離，通過三角形的面積求出c²=5，得到橢圓方程．

解答： 解：（1）F（-c，0），M(-c，

b2

a

)，
因為AB∥OM，

b2 a

c

=

b

a

，得b=c，
則e=

c

a

=

2

2

．                      （2分）
（2）在三角形F₁QF₂中，由余弦定理得：cos∠F₁QF₂=

|QF1|2+|QF2|2-|F1F2|2

2|QF1||QF2 |

=

(|QF1|+|QF2|)2-2|QF1||QF2|-4c2

2|QF1||QF2|

=

2b2

|QF1||QF2|

-1≥

2b2

( |QF1|+|QF2| 2 )2

-1=

2b2

a2

-1，
又因為a²=2b²，所以cos∠F₁QF₂≥0，
即∠F1QF2∈[0，

π

2

]．           （5分） 
（3）由（1）知，b=c，故設橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，kAB=-

2

2

，
因為QF₂⊥AB，所以kPQ=

2

，故直線PQ的方程為y=

2

(x-c)，（6分）
聯(lián)立方程組

y= 2 (x-c) x2 2c2 + y2 c2 =1

，整理得5x²-8cx+2c²=0，記△=24c²＞0，
設Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
由韋達定理得：x1+x2=

8c

5

，x1•x2=

2c2

5

，
|QP|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( 2

)2•|x₂-x₁|=

6 2

5

c（8分）
又點F₁到QP的距離d=

2 6

3

c，
所以S=

1

2

•

6 2

5

c•

2 6

3

c=

4 3

5

c2=4

3

．
所以c²=5，故橢圓方程為

x2

10

+

y2

5

=1．（10分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，三角形的面積的求法，弦長公式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．