Question

19．若不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）≥m，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． [6，+∞）
• C． （-∞，9]
• D． （-∞，12]

Answer 1

分析 利用基本不等式，求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）的最小值，即可得出m的取值范圍．

解答 解：∵x，y均為正實(shí)數(shù)，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=1+4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=5+2×2=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{x}$=$\frac{4x}{y}$，即y=2x時(shí)取等號(hào)，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）的最小值為9；
又不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）≥m對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，
∴m≤9，
即m的取值范圍是（-∞，9]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用問題，注意等號(hào)成立的條件是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．