Question

已知雙曲線的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P，Q．若點P是線段F₁Q的中點，且QF₁⊥QF₂，則此雙曲線的離心率等于（ ）
A．
B．
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：雙曲線的左右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），兩條漸近線方程為y=-，y=，由過F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P，Q．點P是線段F₁Q的中點，且QF₁⊥QF₂，知PF₁⊥OP，所以過F₁的直線PQ的方程為：y=，解方程組，得P（-，），所以|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，再由余弦定理，能求出此雙曲線的離心率．
解答：解：∵雙曲線的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
∴F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），雙曲線的兩條漸近線方程為y=-，y=，
∵過F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P，Q．點P是線段F₁Q的中點，且QF₁⊥QF₂，
∴PF₁⊥OP，
∴過F₁的直線PQ的斜率，
∴過F₁的直線PQ的方程為：y=，
解方程組，得P（-，），
∴|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，
∵tan∠QOF₂=，∴cos∠QOF₂=，
由余弦定理，得cos∠QOF₂==1-=，
∴1-=，即e²-e-2=0，
解得e=2，或e=-1（舍）
故選C．
點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意余弦定理的合理運用．