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已知橢圓C：的兩個焦點為、，且經過點，一組斜率為的直線與橢圓C都相交于不同兩點、。

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：線段的中點都有在同一直線上；

（3）對于（2）中的直線，設與橢圓C交于兩點M、N，試探究橢圓上使MNQ面積為的點Q有幾個？證明你的結論。（不必具體求出Q點的坐標）

 

 

【答案】

解：（1）（法一）

        橢圓C的方程為

（法二）由，解得  橢圓C的方程為

（2）（法一）設、，的中點坐標，則

，兩式相減得

又，， 代入，得

線段的中點都有在同一直線：上；

（法二）設直線的方程為，代入得

，設、，的中點坐標，則

，則

消去得

線段的中點都有在同一直線：上；（中點弦、定直線、消參求軌跡）

（3）代入得

或           |MN|=,

設點Q到直線的距離為，則由=得

（法一）設Q在與直線MN平行的直線上，則直線與直線MN的距離為          解得，

時，代入得①

，

方程①有兩不等實解，即有兩個不同點Q滿足；同理可得，時也有兩個不同的點Q滿足。

綜上，共有4個不同點Q滿足條件

(若求點Q坐標,則為)

法(二)設D為橢圓上不同于M、N的任一點，D到MN的距離為

，

即橢圓C上點到直線MN距離的最大值為，

而,故由圖可知，橢圓C上有4個點Q能滿足條件。

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省湛江二中高三（上）第一次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數學 來源：2010年內蒙古赤峰市高三統(tǒng)考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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