設(shè)向量
OM
=(-
3
，1)，向量
ON
=(cosα，-sinα)(0＜α＜n)
（1）若向量
OM
⊥
ON
，求tanα的值；
（2）求|
MN
|的最大值及此時(shí)α的值．
分析：（1）利用向量
OM
⊥
ON
，推出
OM
•
ON
=0，得到 關(guān)于cosα，sinα的關(guān)系式，然后求tanα的值；
（2）表示出|
MN
|，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)0＜α＜π，求|
MN
|的最大值及此時(shí)α的值．
解答：解：（1）由于 向量
OM
⊥
ON
，
∴
OM
•
ON
=0，
則-
3
cosα-sinα=0，（3分）
顯然cosα≠0，兩邊同時(shí)除以cosα得，tanα=-
3
；（6分）
（2）由于|
MN
|=
(cosα+
3
)2+(-sinα-1)2
，（8分）
即|
MN
|=
5+4sin(α+
π
3
)
由于0＜α＜π，則
π
3
＜α+
π
3
＜
4π
3
（11分）
則α+
π
3
=
π
2
，即α=
π
6
時(shí)，|
MN
|最大值為3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，向量的模，考查學(xué)生運(yùn)算能力，三角函數(shù)的值域，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F1(0，-
3
)和F2(0，
3
)為焦點(diǎn)、離心率為
3
2
的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．求：
（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）|
OM
|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)為S，T點(diǎn)E在橢圓上且異于S，T兩點(diǎn)，直線SE與TE的斜率之積為-4O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓以F1（0，-
3
）和F2（0，
3
）為焦點(diǎn)，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且向量
OM
=
OA
+
OB
求：點(diǎn)M的軌跡方程及|OM|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•昌平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-
3
，0)，離心率為
3
2
．設(shè)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，記點(diǎn)P在第一象限時(shí)直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．
求：
（I）橢圓C的方程；
（II）|
OM
|的最小值及此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•上海）定義向量
OM
=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為
OM
=（a，b）（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）設(shè)g（x）=3sin（x+
π
2
）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點(diǎn)，向量
OM
的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x0處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x0的取值范圍．

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