Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)；且當x∈(-

π

2

，

π

2

）時，f（x）=sinx，則不等式f（x）≤f(-

π

6

)的解集為

(kπ-

π

2

，kπ-

π

6

]（k∈Z）

．

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)，我們根據(jù)函數(shù)周期性的性質(zhì)，判斷出函數(shù)f（x）是以π的周期的周期函數(shù)，進而根據(jù)當x∈(-

π

2

，

π

2

）時，f（x）=sinx，我們可以求出不等式f（x）≤f(-

π

6

)，當x∈(-

π

2

，

π

2

）時的解集，進而結(jié)合函數(shù)的周期性得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)
即函數(shù)f（x）是以π的周期的周期函數(shù)；
又∵函數(shù)f（x）滿足當x∈(-

π

2

，

π

2

）時，f（x）=sinx，
∴當x∈(-

π

2

，

π

2

）時，f（x）≤f(-

π

6

)的解集為(-

π

2

，-

π

6

]
故不等式f（x）≤f(-

π

6

)的解集為(kπ-

π

2

，kπ-

π

6

]（k∈Z）
故答案為：(kπ-

π

2

，kπ-

π

6

]（k∈Z）

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知中函數(shù)f（x）滿足f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)，判斷出函數(shù)的周期性是解答本題的關鍵．