Question

1．已知$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}$=$\frac{c}$，則△ABC是直角三角形或等腰三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)條件和等比性質(zhì)對(duì)cosA進(jìn)行分類(lèi)討論，分別代入式子由正弦定理、余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再判斷出三角形的形狀．

解答 解：（1）當(dāng)cosA=0時(shí)，即A=$\frac{π}{2}$，
在△ABC中，根據(jù)等比性質(zhì)，$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}=\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{c}$，
由正弦定理得$\frac{sinB}{sinC}=\frac{cosC}{cosB}$，則sin2B=sin2C，
所以2B=2C或2B+2C=π，則B=C或B+C=$\frac{π}{2}$，
則△ABC是直角三角形或等腰直角三角形；
（2）當(dāng)cosA≠0時(shí)，即A≠$\frac{π}{2}$，
在△ABC中，根據(jù)等比性質(zhì)，$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}=\frac{cosA}{cosA}=\frac{2cosC}{2cosB}$=$\frac{c}$，
則$\frac{c}$=1，即b=c，所以△ABC是等腰三角形；
綜上可知，△ABC是直角三角形或等腰三角形，
故答案為：直角三角形或等腰．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及等比性質(zhì)的靈活應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．