(2012•溫州二模)如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0,0<φ<
π
2
的部分圖象,M,N是它與軸的兩個交點,D,C分別為它的最高點和最低點,點F (0,1)是線段MD的中點,S△CDM=
3

(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)在△CDM中,記∠DMN=α,∠CMN=β.證明:sinC=2cosαsinβ.
分析:(I)先由條件得到A=2,再由 S△DMN=
1
2
S△CDM=
T•A
4
=
π
3
,求得 T=
3
=
ω
,從而求得ω=3.求出點M的坐標為(-
π
12
,0),由五點法作圖求得φ 值.
(II)在△CDM中,由題意可得 tanα=3tanβ,即 sinαcosβ=3cosαsinβ.而DC=2DM,故sinC=
1
2
sin∠DMC=
1
2
sin(α+β),化簡可得sinC=2cosαsinβ成立.
解答:解:(I)由已知 點F (0,1)是線段MD的中點知A=2,∵S△DMN =
1
2
S△CDM=
1
2
MN•A
=
T•A
4
=
π
3
,∴T=
3
=
ω
,ω=3.
∴函數(shù)f(x)=2sin(3x+φ),再由已知可得點M的坐標為(-
π
12
,0),由五點法作圖可得 3(-
π
12
)+φ=0,∴φ=
π
4

(II)在△CDM中,∠DMN=α,∠CMN=β,則有 tanα=3tanβ,即 sinαcosβ=3cosαsinβ.
而DC=2DM,故sinC=
1
2
sin∠DMC=
1
2
sin(α+β)=
1
2
sinαcosβ+
1
2
cosαsinβ=
3
2
cosαsinβ+
1
2
cosαsinβ=2cosαsinβ,
∴sinC=2cosαsinβ成立.
點評:本題主要考查利用y=Asin(ωx+∅)的圖象特征,由函數(shù)y=Asin(ωx+∅)的部分圖象求解析式,三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,屬于中檔題.
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