Question

（2012•溫州二模）如圖是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

的部分圖象，M，N是它與軸的兩個交點，D，C分別為它的最高點和最低點，點F （0，1）是線段MD的中點，S_△CDM=

2π

3

．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）在△CDM中，記∠DMN=α，∠CMN=β．證明：sinC=2cosαsinβ．

Answer 1

分析：（I）先由條件得到A=2，再由 S_△DMN=

1

2

S_△CDM=

T•A

4

=

π

3

，求得 T=

2π

3

=

2π

ω

，從而求得ω=3．求出點M的坐標為（-

π

12

，0），由五點法作圖求得φ 值．
（II）在△CDM中，由題意可得 tanα=3tanβ，即 sinαcosβ=3cosαsinβ．而DC=2DM，故sinC=

1

2

sin∠DMC=

1

2

sin（α+β），化簡可得sinC=2cosαsinβ成立．

解答：解：（I）由已知 點F （0，1）是線段MD的中點知A=2，∵S_△DMN =

1

2

S_△CDM=

1

2

MN•A=

T•A

4

=

π

3

，∴T=

2π

3

=

2π

ω

，ω=3．
∴函數(shù)f（x）=2sin（3x+φ），再由已知可得點M的坐標為（-

π

12

，0），由五點法作圖可得 3（-

π

12

）+φ=0，∴φ=

π

4

．
（II）在△CDM中，∠DMN=α，∠CMN=β，則有 tanα=3tanβ，即 sinαcosβ=3cosαsinβ．
而DC=2DM，故sinC=

1

2

sin∠DMC=

1

2

sin（α+β）=

1

2

sinαcosβ+

1

2

cosαsinβ=

3

2

cosαsinβ+

1

2

cosαsinβ=2cosαsinβ，
∴sinC=2cosαsinβ成立．

點評：本題主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，屬于中檔題．