Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
（1）求f（2）與f（$\frac{1}{2}$），f（3）與f（$\frac{1}{3}$）；
（2）由（1）中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f（$\frac{1}{x}$）有什么關(guān)系？并證明你的發(fā)現(xiàn)；
（3）計(jì)算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）

Answer 1

分析 （1）直接代入計(jì)算即可；
（2）發(fā)現(xiàn)f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，代入化簡(jiǎn)即可證明；
（3）利用（2）的結(jié)論即可得出．

解答 解：（1）f（2）=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{5}$，f（3）=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{10}$，
（2）f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
理由如下：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1，
（3）由（2）可得，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）
=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（2006+f（$\frac{1}{2016}$）]，
=$\frac{1}{2}$+2015
=$\frac{4031}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值，考查數(shù)列的求和，求得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．