Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，能否在y軸左側的橢圓上找到一點M，使點M到左準線l的距離|MN|為點M到兩焦點的距離的等差中項？若M存在，求出它的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程算出a²=4且c=1，從而得出左準線l的方程為：x=-4．設點M坐標為（m，n）即可得到|MN|=m+4．根據(jù)橢圓定義和題中的等差中項算出|MN|=2，從而解出m=-2，代入橢圓方程可得n的值，得到點M的坐標．

解答：解：設存在符合題意的點M，其坐標為（m，n）（m＜0）
由橢圓的方程，可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1，
于是橢圓兩個焦點的坐標分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
且左準線l的方程為：x=

a2

c

，即x=-4，可得|MN|=m+4，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴由|MN|是|MF₁|和|MF₂|的等差中項，得2|MN|=|MF₁|+|MF₂|=4，解之得|MN|=2，
∵|MN|=m+4，∴m+4=2，解之得m=-2，代入橢圓方程得n=0
因此，存在點橢圓上點M的坐標為（-2，0），滿足點M到左準線l的距離|MN|為點M到兩焦點的距離的等差中項．

點評：本題給出橢圓方程，探索了橢圓上是否存在一點到左準線的距離是兩條焦半徑的等差中項的問題．著重考查了橢圓的定義、基本概念和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．