Question

6．2015年7月31日，國(guó)際奧委會(huì)在吉隆坡正式宣布2022年奧林匹克冬季奧運(yùn)會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)冬奧會(huì)）在北京和張家口兩個(gè)城市舉辦．某中學(xué)為了普及奧運(yùn)會(huì)知識(shí)和提高學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的積極性，舉行了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽．隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的成績(jī)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上（包括75分）的學(xué)生定義為甲組，成績(jī)?cè)?5分以下（不包括75分）定義為乙組．
（1）在這30名學(xué)生中，甲組學(xué)生中有男生7人，乙組學(xué)生中有女生12人，試問(wèn)有沒(méi)有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)；
（2）①如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，那么至少有1人在甲組的概率是多少？
②用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)選取3人，用ξ表示所選3人中甲組的人數(shù)，試寫(xiě)出ξ的分布列，并求出ξ的數(shù)學(xué)期望．附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；其中n=a+b+c+d
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表：

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.010
K	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）作出2×2列聯(lián)表，由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式求出K²≈1.83＜2.706，從而得到?jīng)]有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)．
（2）①用A表示“至少有1 人在甲組”，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人在甲組的概率．
②由題意知，ξ～$B（3，\frac{2}{5}）$，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）作出2×2列聯(lián)表：

	甲組	乙組	合計(jì)
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計(jì)	12	18	30

由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式得${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}≈1.83$，因?yàn)?.83＜2.706，故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)．（6分）
（2）①用A表示“至少有1人在甲組”，則$p（A）=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{7}{10}$．（8分）
②由題知，抽取的30名學(xué)生中有12名學(xué)生是甲組學(xué)生，抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率為$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$，那么從所有的中學(xué)生中抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率是$\frac{2}{5}$，又因?yàn)樗�取總體數(shù)量較多，抽取3名學(xué)生可以看出3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，于是ξ服從二項(xiàng)分布$B（3，\frac{2}{5}）$．
顯然ξ的取值為0，1，2，3．且$P（ξ=k）=C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（1-\frac{2}{5}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$．
所以得分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

數(shù)學(xué)期望$Eξ=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．