精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
函數f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），且f（1）=0，
（1）求f（0）；
（2）求函數解析式；
（3）當x∈[-2，2]時，f（x）-ax不是單調函數，
①求a的取值范圍；
②記f（x）-ax的最小值為g（a），求g（a）的最大值．
分析：（1）令x=-1，y=1，利用f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；
（2）令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1），結合f（0）=-2，可求f（x）的解析式；
（3）由（2）可得f（x）-ax的解析式，結合x∈[-2，2]時，f（x）-ax不是單調函數，可得函數圖象的對稱軸位于開區(qū)間（-2，2）上，由此構造不等式，可解得a的取值范圍，進而結合二次函數的圖象和性質，求出函數的最小值g（a）的表達式，得到答案．
解答：解：（1）令x=-1，y=1，則
∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）
∴f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x2+x-2
（3）①∵f（x）-ax=x2+（1-a）x-2
且x∈[-2，2]時，f（x）-ax不是單調函數
∴-2＜
a-1
2
＜2
解得：-3＜a＜5
②∵f（x）-ax的最小值為g（a），
∴g（a）=
4×1×(-2)-(1-a)2
4
=-
1
4
（a-1）2-2，
由①中-3＜a＜5可得
當a=1時g（a）取最大值-2
點評：本題以抽象函數為載體，考查賦值法的運用，考查恒成立問題，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值．
（2）對任意的x1∈(0，
1
2
)，x2∈(0，
1
2
)，都有f（x1）+2＜logax2成立時，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值        
（2）求f（x）的解析式
（3）若函數g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在區(qū)間（-1，2）上是減函數，求實數a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=kx+b（k，b為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，則稱g（x）為f（x）的一個承托函數．現有如下命題：
①對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能無數個；
②g（x）=2x為函數f（x）=2x的一個承托函數；
③若函數g（x）=x-a為函數f（x）=ax2的承托函數，則a的取值范圍是a≥
12
；
④定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數；
其中正確命題的序號是
①③
①③
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+5）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值，并求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=f（x）-ax在區(qū)間[-2，2]上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（3）已知：當0＜x＜
12
時，不等式f（x）+3＜2x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）函數g（x）=xf（x+x）在[0，2]上何處取得極值，最值是多少？

查看答案和解析>>

同步練習冊答案