Question

【題目】已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程為.

（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，比較與（為自然對數(shù)的底數(shù)）的大小.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;（2）.

【解析】試題分析：（1）由 在上得及得 的值，得 的解析式，由得的增區(qū)間，由得的減區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合其圖象可知：若 ，則必有一個小于，一個大于，不妨設(shè)，當(dāng)時，結(jié)論顯然成立，當(dāng)時， ，令，對函數(shù)求導(dǎo)，可得 即在 單調(diào)遞增，故 ，得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果。

（1）函數(shù)的定義域為， ，

因為的圖象在點處的切線方程為，

所以解得，所以.

所以，令，得，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時， .證明如下：

因為時， 單調(diào)遞減，且，

又，當(dāng)時， 單調(diào)遞增，且.

若，則必都大于，且必有一個小于，一個大于.

不妨設(shè)，當(dāng)時，必有.

當(dāng)時， ，

設(shè)，

則

因為，所以，故.

又，所以，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，所以.

因為， ，所以，

又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，即.

綜上，當(dāng)時，.