Question

某學(xué)校舉行投籃比賽，比賽規(guī)則如下：每次投籃投中一次得2分，未中扣1分，每位同學(xué)原始積分均為0分，當(dāng)累積得分少于或等于-2分則停止投籃，否則繼續(xù)，每位同學(xué)最多投籃5次．且規(guī)定總共投中5、4、3次的同學(xué)分別為一、二、三等獎，獎金分別為30元、20元、10元．某班甲、乙、丙同學(xué)相約參加此活動，他們每次投籃命中的概率均為

1

2

，且互不影響．
（1）求甲同學(xué)能獲獎的概率；
（2）記甲、乙、丙三位同學(xué)獲得獎金總數(shù)為X，求X的期望EX．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意，利用互斥事件加法公式能求出甲同學(xué)能獲獎的概率．
（2）記甲同學(xué)獲得獎金為Y，Y=0，10，20，30，分別求出相應(yīng)的概率能求出EY，由EX=3EY能求出X的期望EX．

解答： 解：（1）由題意知，甲同學(xué)能獲獎的概率：
P=[

C

3 5

(

1

2

)5-(

1

2

)5]+

C

4 5

(

1

2

)5+(

1

2

)5=

15

32

．（6分）
（2）記甲同學(xué)獲得獎金為Y，
Y=0，10，20，30，
P（Y=0）=

C

0 5

(

1

2

)5+

C

1 5

(

1

2

)(

1

2

)4+

C

2 5

(

1

2

)2(

1

2

)3=

1

2

，
P（Y=10）=

C

3 5

(

1

2

)3(

1

2

)2=

5

16

．
P（Y=20）=

C

4 5

(

1

2

)4(

1

2

)=

5

32

，
P（Y=30）=

C

5 5

(

1

2

)5=

1

32

，
則Y的分布列如下：

Y	0	10	20	30
P	1 2	5 16	5 32	1 32

-----（10分）
∴EY=0×

1

2

+10×

5

16

+20×

5

32

+30×

1

32

=

115

16

，（11分），
EX=3EY=

345

16

．（13分）

點評：本題考查概率的求法，考查注意離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．