Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=2n（n+1）．
（1）求證：數(shù)列{

Sn

n

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）由nS_n+1-（n+1）S_n=2n（n+1），兩邊同除以n（n+1）可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=2，即可證明；
（2）由（1）S_n．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出．

解答：（1）證明：∵nS_n+1-（n+1）S_n=2n（n+1），∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=2，
∴數(shù)列{

Sn

n

}是以

S1

1

=1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）可得

Sn

n

=1+(n-1)×2，
化為S_n=2n²-n．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3．
又a₁=1也滿足．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4n-3．

點評：數(shù)列掌握等差數(shù)列的定義、通項公式及其利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，”求a_n的方法等是解題的關(guān)鍵．