17.已知函數(shù)f(x)=cos2$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域 
(2)求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間
(3)若f(α)=$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$,求sin 2α的值.

分析 (1)(2)利用二倍角和輔助角公式將函數(shù)f(x)化簡,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及周期公式求解函數(shù)f(x)的最小正周期、值域和單調(diào)遞減區(qū)間.
(3)根據(jù)f(α)=$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$,找出等式關(guān)系,即可求sin 2α的值.

解答 解:函數(shù)f(x)=cos2$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$.
化簡可得:f(x)=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos(x+$\frac{π}{4}$).
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$.
∵cos(x+$\frac{π}{4}$)∈[-1,1],
∴f(x)∈[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],
即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$];
(2)由余弦函數(shù)的性質(zhì),
令2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤π+2kπ,k∈Z.
得:2kπ$-\frac{π}{4}$≤x≤2kπ$+\frac{3π}{4}$.
∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ$-\frac{π}{4}$,kπ$+\frac{3π}{4}$],k∈Z.
(3)∵f(α)=$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$,即$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos(α+$\frac{π}{4}$)=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$,
可得:cos(α+$\frac{π}{4}$)=$\frac{3}{5}$.
∵-sin2α=cos(2$α+\frac{π}{2}$)=cos2($α+\frac{π}{4}$)=cos2(α+$\frac{π}{4}$)-1=$-\frac{16}{25}$,
∴sin 2α=$\frac{16}{25}$.

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化解能力和三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

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