分析:(Ⅰ)由已知我們易求出函數(shù)的導函數(shù),令導函數(shù)值為0,我們則求出導函數(shù)的零點,根據(jù)m>0,我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間,分別在每個區(qū)間上討論導函數(shù)的符號,即可得到函數(shù)的單調區(qū)間.
(Ⅱ)根據(jù)題意求出函數(shù)的導數(shù)并且通過導數(shù)求出出原函數(shù)的單調區(qū)間,進而得到原函數(shù)的極值,因為函數(shù)存在三個不同的零點,所以結合函數(shù)的性質可得函數(shù)的極大值大于0,極小值小于0,即可單調答案.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=-
x
3+x
2+(m
2-1)x,(x∈R),
∴f′(x)=-x
2+2x+m
2-1.
令f′(x)=0,解得x=1-m,或x=1+m.
因為m>0,所以1+m>1-m.
當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x |
(-∞,1-m) |
1-m |
(1-m,1+m) |
1+m |
(1+m,+∞) |
f′(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
f(x) |
↓ |
極小值 |
↑ |
極大值 |
↓ |
所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)內是減函數(shù),在(1-m,1+m)內是增函數(shù).
f(x)在x=1-m處取極小值f(1-m)=-
(1-m)3+(1-m)2+(m2-1)(1-m)=-
m3+m2-.
f(x)在x=1+m處取極大值f(1+m)=-
(1+m)3+(1+m)2+(m2-1)(1+m)=
m3+m2-.
(Ⅱ)∵f(x)=-
x
3+x
2+(m
2-1)x,
∴g(x)=f(x)+
=-
x
3+x
2+(m
2-1)x+
,
由(Ⅰ)知:g(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)內是減函數(shù),
在(1-m,1+m)內是增函數(shù).
在x=1-m處取極小值
-m3+m2,x=1+m處取極大值
m3+m2,
∵函數(shù)g(x)=f(x)+
有三個互不相同的零點,且m>0,
∴
,
解得
m>.
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用導數(shù)球函數(shù)的單調區(qū)間與函數(shù)的極值,并且掌握通過函數(shù)零點個數(shù)進而判斷極值點與0的大小關系.