Question

已知橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，短半軸長為

6

2

，離心率e=

10

5

，左、右焦點分別為F₁、F₂．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₁作直線l交橢圓于P、Q兩點（直線l不過原點O），若

QF2

•

PF2

=

11

8

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知

b= 6 2 a2=b2+c2 c a = 10 5

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x=my-1，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my-1 2x2 5 + 2y2 3 =1

，得（6m²+10）y²-12my-9=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
短半軸長為

6

2

，離心率e=

10

5

，
則

b= 6 2 a2=b2+c2 c a = 10 5

，…（3分）
解得：a2=

5

2

，b2=

3

2

，c2=1，
因此所求橢圓的方程為：

2x2

5

+

2y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0）、F₂（1，0），
由題意知直線(x0-a)2+(

x02

2

-

1

4

)2=a2+

1

16

的傾斜角不為0，
故可設(shè)直線l的方程為：x=my-1，…（7分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x=my-1 2x2 5 + 2y2 3 =1

，整理得（6m²+10）y²-12my-9=0，
△＞0，y1+y2=

12m

6m2+10

，y1•y2=-

9

6m2+10

①，…（8分）
又

PF2

=(1-x1，-y1)，

QF2

=(1-x2，-y2)，
所以

PF2•

QF2

=(11-x)•(1-x2)+y1y2
=（2-my₁）•（2-my₂）+y₁y₂
=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=

-9m2+31

6m2+10

，
由

QF2

•

PF2

=

11

8

，解得m=±1，…（10分）
所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：x+y+1=0和x-y+1=0．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．