Question

1．在直三棱柱ABC-A'B'C'中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，AA'=$\sqrt{3}$a，則直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正切值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{39}}}{39}$
• B． $\frac{{\sqrt{13}}}{13}$
• C． $\frac{{\sqrt{13}}}{39}$
• D． $\frac{{\sqrt{39}}}{13}$

Answer 1

分析 取A'C'的中點(diǎn)D，連接B'D，AD，由線面垂直的性質(zhì)和判定定理，得到B'D⊥平面AC'，則∠B'AD即為直線AB′與側(cè)面AC′所成的角，再由解直角三角形的知識(shí)，即可得到所成的角．

解答 解：取A'C'的中點(diǎn)D，連接B'D，AD，
則由底面邊長(zhǎng)為a的正三角形，
得，B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，B'D⊥A'C'，
在直三棱柱中，AA'⊥底面A'B'C'，
則AA'⊥B'D，即有B'D⊥平面AC'，
則∠B'AD即為直線AB′與側(cè)面AC′所成的角，
在直角三角形B'AD中，B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AD=$\sqrt{（\sqrt{3}a）^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
則tan∠B'AD=$\frac{B′D}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{13}}{2}a}$=$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直線與平面所成的角的求法，根據(jù)線面角的定義作出平面角是解決本題的關(guān)鍵．考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．