【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，， .

（1）證明： ；

（2）若三棱柱的體積為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）取的中點，連接、、、，由菱形的性質(zhì)可得，，則平面，.

（2）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可得平面，建立空間直角坐標系.則平面的一個法向量為，是平面的一個法向量.據(jù)此計算可得二面角的余弦值為.

詳解：（1）取的中點，連接、、、，

由菱形的性質(zhì)及.

得，為正三角形.

∴，，且.

∴平面，∴.

（2）三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一，

得四棱錐的體積是柱體體積的三分之二，即等于.

平行四邊形的面積為.

設(shè)四棱錐的高為，則：

，∴，

又，平面，

建立如圖直角坐標系：.

則，，.

，，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，

取一個法向量為，

顯然是平面的一個法向量.

則.

二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】（1）空間四邊形的對角線，，、分別為、的中點，，求異面直線與所成的角；

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（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓分別交于兩點，且，試問點到直線的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．

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（1）求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率；

（2）記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數(shù)額，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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【題目】已知函數(shù)，

（1）當，時，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若函數(shù)在與處的切線互相垂直，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個極值點，，且，求的取值范圍．

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【題目】為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，現(xiàn)從我校學(xué)生中隨機抽取10人進行體能測試，測試的分數(shù)（百分制）如莖葉圖所示.根據(jù)有關(guān)國家標準，成績不低于79分的為優(yōu)秀，將頻率視為概率.

(1)另從我校學(xué)生中任取3人進行測試，求至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率；

(2)從前文所指的這10人（成績見莖葉圖）中隨機選取3人，記 表示測試成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及期望.

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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：單位是萬元).

圖1 圖2

（1）若A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)分別為、，求出它們的表達式并注明定義域；

（2）現(xiàn)企業(yè)有20萬元資金全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這20萬元資金，能使獲得的利潤最大，其最大利潤是多少萬元？

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【題目】如圖所示的是函數(shù)（，）在區(qū)間上的圖象，將該函數(shù)圖象各點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），再向右平移（）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知點是拋物線：上一點，且到的焦點的距離為．

（1）若直線與交于，兩點，為坐標原點，證明：；

（2）若是上一動點，點不在直線：上，過作直線垂直于軸且交于點，過作的垂線，垂足為．試判斷與中是否有一個為定值？若是，請指出哪一個為定值，并加以證明；若不是，請說明理由．

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