設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋bln(x＋1)，其中b≠0．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

(Ⅲ)求證：．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由題意知，的定義域?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0666/0026/23e4c00a313fb2aa606a90d5c61027e0/C/Image253.gif" width=61 height=21>，設(shè)，其圖象的對稱軸為，．當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，

　　當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．　4分

　　(Ⅱ)①由(Ⅰ)得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)．②時(shí)，有兩個(gè)相同的解，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，，時(shí)，，，即，．時(shí)，，隨的變化情況如下表：

　　由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，………6分；

　　當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，隨的變化情況如下表：

　　由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；　8分

　　綜上所述：時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，無極值點(diǎn)．

　　(Ⅲ)證：要證

　　即證，即證

　　即證令，由(Ⅰ)可知在上遞減，故即，令，故累加得，

　　故，得證　14分

　　法二：＝

　　　14分，其余相同證法


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋mx(m∈R)，則下列命題中的真命題是                        (　　)．

A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函數(shù)

B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函數(shù)

C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函數(shù)

D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1＋cosx(a>0)．

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，證明：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

(2)若y＝f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求正數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省高三10月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

 對實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“⊕”：a⊕b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)⊕(x－x2)，x∈R，若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

A．(－∞，－2]∪            B．(－∞，－2]∪

C. ∪              D. ∪

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年黑龍江省高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

、（12分）設(shè)函數(shù)f(x) ＝ x2＋bln(x＋1),

（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實(shí)數(shù)b的值；

（2）若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）若b＝－1，證明對任意的正整數(shù)n，不等式成立；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文卷 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋3，對任意x∈[1，＋∞)，f()＋m2f(x)≥f(x－1)＋3f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　.


 

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