Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，SA=a且
SA⊥底面ABCD
（1）證明AB⊥側面SAD；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由線面垂直得SA⊥AB，由正方形性質，得AD⊥AB，由此能證明AB⊥面SAD．
（2）由SA⊥底面ABCD，且SA=a，S_底=a²，能求出四棱錐S-ABCD的體積．

解答： （本小題滿分12分）
（1）證明：∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥AB，…（2分）
∵四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥AB，…（4分）
∵SA交AD于點A，…（5分）
∴AB⊥面SAD．…（6分）
（2）解：∵SA⊥底面ABCD，且SA=a，S_底=a²，
∴V_S-ABCD=

1

3

S_底•SA=

1

3

a²•a=

1

3

a³，…（11分）
∴四棱錐S-ABCD的體積是

1

3

a³．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．