Question

（07年湖南卷理）（13分）

已知（）是曲線上的點(diǎn)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，…．

（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；

（II）確定的取值集合，使時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；

（III）證明：當(dāng)時，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增．

Answer 1

解析：（I）當(dāng)時，由已知得．

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326150123003.gif' width=113>，所以．                …… ①

于是．                                  ……②

由②－①得．                             …… ③

于是．                                 ……  ④

由④－③得，                                 …… ⑤

所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．由③有，，

所以，．

而 ⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，

所以，，，

數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

（III）解法一：弦的斜率為

任取，設(shè)函數(shù)，則

記，則，

當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，

所以時，，從而，

所以在和上都是增函數(shù)．

由（II）知，時，數(shù)列單調(diào)遞增，

取，因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326150131053.gif' width=99>，所以．

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所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增．

解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，

在和上都是增函數(shù)，

所以，．

故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增．