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已知雙曲線M:和雙曲線N:,其中b>a>0,且雙曲線M與N的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點(diǎn),則雙曲線M的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:根據(jù)雙曲線M與N的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點(diǎn),得交點(diǎn)坐標(biāo)為:(c,c),其中c是兩個(gè)雙曲線公共的半焦距.將點(diǎn)(c,c)代入雙曲線M(或雙曲線N)的方程,結(jié)合b2=c2-a2化簡(jiǎn)整理,得e4-3e2+1=0,解之得e2==(2,從而得到雙曲線M的離心率e=
解答:解:∵雙曲線M方程為:,雙曲線N方程為:,其中b>a>0,
∴兩個(gè)雙曲線的焦距相等,設(shè)為個(gè)焦距為2c,其中c滿足:
∵雙曲線M與N的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點(diǎn),
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為:(c,c),代入雙曲線M(或雙曲線N)的方程,得
,結(jié)合b2=c2-a2得:,
去分母,得c2(c2-a2)-a2c2=a2(c2-a2),
整理,得c4-3a2c4+a4=0,所以e4-3e2+1=0,解之得e2==(2(另一值小于1舍去)
∴雙曲線M的離心率e=
故選A
點(diǎn)評(píng):本題給出兩個(gè)形狀相同,但焦點(diǎn)分別在x、y上的雙曲線,它們的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點(diǎn),求該雙曲線的離心率,著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)與基本概念,屬于中檔題.
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A、    B、   C、   D、

 

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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