Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前 n 項和為 S_n，a₁=1，且 a_n+1=2S_n+1，n∈N^?．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令 c=log₃a_2n，b_n=$\frac{1}{{{c_n}•{c_{n+2}}}}$，記數(shù)列{b_n}的前 n 項和為T_n，若對任意 n∈N^?，λ＜T_n 恒成立，求實數(shù) λ 的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=2S_n+1，n∈N^?，n≥2時，a_n=2S_n-1+1，可得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n．n=1時，a₂=2a₁+1=3，滿足上式．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II） c=log₃a_2n=$lo{g}_{3}{3}^{2n-1}$=2n-1．b_n=$\frac{1}{{{c_n}•{c_{n+2}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用“裂項求和”及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）∵a_n+1=2S_n+1，n∈N^?，n≥2時，a_n=2S_n-1+1，可得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n．
n=1時，a₂=2a₁+1=3=3a₁，滿足上式．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=3^n-1．
（II） c=log₃a_2n=$lo{g}_{3}{3}^{2n-1}$=2n-1．
b_n=$\frac{1}{{{c_n}•{c_{n+2}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$，
數(shù)列{b_n}的前 n 項和T_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{9}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n+1}）$+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
∵對任意 n∈N^?，λ＜T_n 恒成立，
∴λ＜$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$=$\frac{1}{5}$．
∴實數(shù) λ 的取值是$（-∞，\frac{1}{5}）$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、對數(shù)運算性質(zhì)、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．