Question

已知過點A作兩圓（x-2）²+y²=1和x²+（y-2）²=1的切線，其切線長相等，點B在x軸上，點C（2，1），則△ABC周長的最小值為

10

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩圓的半徑相等，可得過點A作兩圓的切線，滿足切線長相等點A的軌跡為兩圓的對稱軸，因此求得點A為直線y=x上的動點．作點C關于直線y=x的對稱點C₁和點C關于x軸的對稱點C₂，連結C₁C₂分別交直線y=x和x軸于點A'、B'，可得：當點A與點A'重合且點B與點B'重合時，△ABC周長的最�。�由此結合題中數(shù)據(jù)加以計算，即可得到△ABC周長的最小值．

解答：解：圓（x-2）²+y²=1和x²+（y-2）²=1的圓心分別為點（2，0）和點（0，2），半徑都等于1
∵點（2，0）和點（0，2）關于直線y=x對稱，兩圓的半徑相等
∴過點A作兩圓的切線，當切線長相等時點A的軌跡為兩圓的對稱軸y=x
即點A為直線y=x上的動點
∵點A為直線y=x上的動點，點B是x軸上的動點
∴作點C（2，1）關于直線y=x的對稱點C₁，
作點C（2，1）關于x軸的對稱點C₂，
連結C₁C₂分別交直線y=x和x軸于點A'、B'，
當點A與點A'重合且點B與點B'重合時，△ABC周長的最小，
最小值等于線段C₁C₂的長．
求得C₁（1，2）、C₂（2，-1），
可得△ABC周長的最小值為|C₁C₂|=

(2-1)2+(-1-2)2

=

10

故答案為：

10

點評：本題給出動點A滿足到兩個定圓的切線長相等，求△ABC周長的最小值．著重考查了圓的方程、直線與圓的位置關系、兩點之間的距離公式和利用對稱求三角形周長問題等知識，屬于中檔題．